Задача 110799

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружности S1 и S2 с центрами соответственно O1 и O2 касаются внешним образом; прямая касается окружностей в различных точках A и B соответственно. Известно, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника O1ABO2 лежит на одной из окружностей. Найдите отношение радиусов окружностей.

Решение

Пусть точка M пересечения диагоналей AO2 и BO1 четырёхугольника O1ABO2 лежит на окружности S1 . Радиусы O1A=r и O2B=R перпендикулярны общей касательной AB окружностей, поэтому O1A || O2B , значит, MBO2 = MO1A , а т.к. BMO2 = O1MA и треугольник MO1A равнобедренный, то треугольник MBO2 также равнобедренный. Следовательно, MB = O2B = R , поэтому

O1B = O1M+MB = r+R = O1O2.
Высота O1F равнобедренного треугольника BO1O2 является его медианой, следовательно,
O2F = FB = O1A = r, R=O2B = 2r, = .

Ответ

1:2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5713