ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110799
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружности S1 и S2 с центрами соответственно O1 и O2 касаются внешним образом; прямая касается окружностей в различных точках A и B соответственно. Известно, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника O1ABO2 лежит на одной из окружностей. Найдите отношение радиусов окружностей.

Решение

Пусть точка M пересечения диагоналей AO2 и BO1 четырёхугольника O1ABO2 лежит на окружности S1 . Радиусы O1A=r и O2B=R перпендикулярны общей касательной AB окружностей, поэтому O1A || O2B , значит, MBO2 = MO1A , а т.к. BMO2 = O1MA и треугольник MO1A равнобедренный, то треугольник MBO2 также равнобедренный. Следовательно, MB = O2B = R , поэтому

O1B = O1M+MB = r+R = O1O2.

Высота O1F равнобедренного треугольника BO1O2 является его медианой, следовательно,
O2F = FB = O1A = r, R=O2B = 2r, = .


Ответ

1:2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5713

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .