Задача 110812

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через центр O окружности Σ , описанной около треугольника ABC , проведена прямая, параллельная BC и пересекающая стороны AB и AC в точках B1 и C1 соответственно. Окружность σ проходит через точки B1 и C1 и касается Σ в точке K . Найдите угол между прямыми AK и BC . Найдите площадь треугольника ABC и радиус окружности Σ , если B1C1=6 , AK=6 , а расстояние между прямыми BC и B1C1 равно 2.

Решение

При гомотетии с центром A , переводящей точку B в B1 , треугольник ABC перейдёт в треугольник AB1C1 , а описанная около него окружность Σ – в описанную окружность σ1 треугольника AB1C1 , касающуюся изнутри окружности Σ в точке A . Известно, что окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через её центр. При симметрии относительно прямой B1C1 точка A перейдет в точку A1 , лежащую на окружности Σ , а окружность σ1 – в окружность, проходящую через точки B1 и C1 и касающуюся окружности Σ в точке A1 , т.е. в окружность σ . Значит, точка A1 совпадает с точкой K , а т.к. AA1 B1C1 , то AK BC . Пусть H1 и H – точки пересечения прямой AK с B1C1 и BC соответственно. Тогда AH1 = AK=3 и AH1 B1C1 , значит,

S_{Δ AB}1C1 = B1C1· AH1 = · 6· 3 = 9.
Треугольник ABC подобен треугольнику AB1C1 с коэффициентом = = = , поэтому
S_{Δ ABC} = ()2· S_{Δ AB}1C1= · 9 = 25.
Пусть E – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на BC . Тогда E – середина BC , OE BC , OE = HH1= 2 , а т.к. BC= B1C1= · 6 = 10 , то
R=OB = = = .

Ответ

AK BC ; S=25 , R= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5755