Условие
Окружности
C1
и
C2
внешне касаются в точке
A .
Прямая
l касается окружности
C1
в точке
B , а окружности
C2
– в точке
D . Через точку
A проведены две прямые:
одна проходит через точку
B и пересекает окружность
C2
в точке
F , а другая касается окружностей
C1
и
C2
и
пересекает прямую
l в точке
E . Найдите радиусы окружностей
C1
и
C2
, если
AF=3
,
BE=
.
Решение
Пусть
O1
и
O2
– центры окружностей
C1
и
C2
соответственно,
R1
и
R2
– радиусы этих окружностей.
Поскольку
BE=EA= ED (как отрезки касательных, проведённых к окружности
из одной точки), треугольник
BAD – прямоугольный,
BAD =
90
o ,
BD=2
BE = 2
.
В треугольнике
DAF угол
DAF – прямой, поэтому
DF – диаметр
окружности
C2
. Отрезок
DA – высота прямоугольного треугольника
BDF , проведённая из вершины прямого угла, поэтому
BD2
= AB· BF ,
или
20
= AB(
AB+3
)
. Из этого уравнения находим, что
AB=2
.
Тогда
4R22 = DF2 = AF· BF = AF(AF+AB) = 3(3+2) =
30,
следовательно,
R2
= 
= 
.
Из подобия треугольников
AO1
B и
AO2
F находим, что
R1 = AO1= AO2· 
= R2· 
=
· 
= 
.
Ответ
,
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
5771 |
