Задача 110830

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона ромба ABCD равна 6. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и BCD , равно 8. Найдите радиусы этих окружностей.

Решение

Пусть O1 и O2 – центры окружностей, описанных около треугольников ABC и BDC соответственно, R1 и R2 – их радиусы. Предположим, что BCD 90^o . Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и проходит через её середину, т.е. прямая O1O2 пересекает сторону BC в её середине M . Обозначим ACB = BO1M = α Из прямоугольных треугольников CO2M и BO1M находим, что

O2M=CM tg α = 3 tg α, O1M = BM ctg α = 3 ctg α.
По условию задачи O2M-O1M = 8 , или 3 tg α-3 ctg α = 8 . Из этого уравнения находим, что tg α = 3 . Тогда
cos α = , sin α = .
Из тех же прямоугольных треугольников находим, что
R1 = O1B = = = ,

R2 = O2C = = = 3.
Аналогично для случая BCD < 90^o .

Ответ

, 3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5783