Задача 110838

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  биссектрисы AM и BK пересекаются в точке O. Площади треугольников BOM и COM соответственно равны 25 и 30. Найдите площадь треугольника ABC и проекцию отрезка OM на прямую BC.

Решение

  Заметим, что  CM : MB = 6 : 5,  а так как AM – биссектриса, то  AC : AB = 6 : 5.  Пусть  MB = 5x,  MC = 6x.  Тогда  AB = BC = CM + MB = 6x = 5x = 11x,
AC = ⁶/₅ AB = ⁶⁶/₅ x, а  CK = ³³/₅ x.  CO – биссектриса треугольника BCK, поэтому  OK : BO = 3 : 5,  значит,  S_COK = ⅗·55 = 33.
  Следовательно,  S_ABC = 2(25 + 30 + 33) = 176.
  По теореме Пифагора     Поэтому  S_ABC = CK·BK,  или  176 = ³³/₅·⁴⁴/₅ x,  откуда     Значит,  
  Пусть P – проекция точки O на прямую BC. Тогда  
  Обозначим  ∠OCK = α.  Тогда  ∠BAC = ∠ACB = 2α,  ∠BAO = α,  ∠CBK = 90° – 2α.
 
  AMC – внешний угол треугольника ABM, поэтому  ∠AMC = ∠ABC + ∠BAM = (180° – 4α) + α = 180° – 3α, 
  Поскольку  tg∠AMC < 0,  угол AMC – тупой, значит, точка P лежит на отрезке MB. Из прямоугольного треугольника OPM находим, что  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5791