Задача 110843

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Центр окружности, касающейся катетов AC и BC прямоугольного треугольника ABC лежит на гипотенузе AB . Найдите радиус окружности, если он в шесть раз меньше суммы катетов, а площадь треугольника ABC равна 27.

Решение

Пусть O – центр окружности, M и N – точки её касания с катетами AC и BC соответственно. Тогда OM и ON – высоты треугольников AOC и BOC . Обозначим BC=a , AC=b , OM=ON=r . По условию задачи a+b=6r . Тогда

27 = S_{Δ ABC} = S_{Δ AOC}+S_{Δ BOC} = ar+ br = (a+b)r = 3r2,
откуда находим, что
r2= = 9, r=3.

Ответ

3.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5796