Задача 110846

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC . Окружность касается стороны AB в точке K , лежащей между точками A и B , имеет с отрезком BC единственную общую точку C , проходит через точку D и пересекает отрезок AD в точке E , отличной от точки D . Найдите расстояние от точки K до прямой CD , если AD=48 , BC=12 .

Решение

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P , а H – основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую CD . Обозначим APD = α . Из прямоугольных треугольников BCP , HKP и APD находим,

sin α = , sin α = , sin α = .
Перемножая почленно равенства = и = , получим, что = , а т.к. KP2 = PC· PD (по теореме о касательной и секущей), то
KH2 = BC· AD = 12· 48 = 3· 4· 16· 3 = 32· 82 = 242.
Следовательно, KH = 24 .

Ответ

24.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5799