Задача 110855

Темы:    [ Площадь трапеции ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через вершины A , B и C трапеции ABCD ( AD|| BC ) проведена окружность. Известно, что окружность касается прямой CD , а её центр лежит на диагонали AC . Найдите площадь трапеции ABCD , если BC=2 , AD=8 .

Решение

Поскольку вершины A и C трапеции лежат на окружности с центром O на отрезке AC , этот отрезок – диаметр окружности. Тогда ABC = ACD = 90^o . Пусть окружности пересекает основание AD в точке H . Тогда AHC= 90^o , т.е. CH – высота прямоугольного треугольника ACD , проведённая из вершины прямого угла, поэтому

CH = = = = = 2.
Следовательно,
S_ABCD = · CH = · 2= 10.

Ответ

10 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5819