Задача 110856

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность с центром O проходит через вершину B ромба ABCD и касается лучей CB и CD . Найдите площадь ромба, если DO= , OC= .

Решение

Окружность касается прямой BC в точке B , значит её центр лежит на перпендикуляре к BC , проходящем через точку B . С другой стороны, центр окружности, вписанной в угол BCD лежит на биссектрисе этого угла, т.е. на прямой AC . Значит, точка O – пересечение этих прямых. Из прямоугольного треугольника OBC находим, что

BC = = = 1.
Обозначим OCD = OCB = α . Тогда
sin α = = = = , cos α = , sin 2α = 2 sin α cos α= 2· · = .
Следовательно,
S_ABCD = 2S_{Δ BCD} = 2· · BC· CD sin 2α= 2· · 1· 1· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5820