Задача 110857

Темы:    [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. На её меньших дугах BC , AC и AB взяты точки A1 , B1 и C1 соответственно. Точки A2 , B2 и C2 – ортоцентры треугольников соответственно BA1C , AB1C и AC1B . Докажите, что описанные окружности треугольников BA2C , AB2C и AC2B пересекаются в одной точке.

Решение

Обозначим углы треугольника ABC через α , β и γ соответственно. Пусть M – точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AB2C и BA2C . Тогда

BMC = 180^o- BA2C = 180^o - (180^o- BA1C) =

= BA1C = 180^o- BAC = 180^o-α.
Аналогично, AMC = 180^o-β . Тогда
AMB = 360^o- BMC - AMC = 360^o -(180^o-α)-(180^o-β) = α+β,
а т.к.
AC2B = 180^o- AC1B = 180^o- (180^o - ACB) = ACB = γ,
то
AC2B + AMB = γ + α+β = 180^o.
Следовательно, точки M , A , B и C2 лежат на одной окружности, т.е. окружность, описанная около треугольника AC2B , также проходит через точку M . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5721