Условие
Окружность с центром
O , вписанная в четырёхугольник
ABCD , касается
сторон
AB ,
BC ,
CD и
AD в точках
K ,
L ,
M и
N соответственно.
Отрезок
KN делит
OA пополам, отрезок
KL делит
OB пополам, а отрезок
MN делит
OD в отношении 1:3, считая от точки
O . Найдите углы четырёхугольника
ABCD .
Решение
Пусть отрезки
OD и
MN пересекаются в точке
P .
Обозначим
OP=x , тогда
DP=3
x . Поскольку
OD 
MN , отрезок
MP –
высота прямоугольного треугольника
OMD , проведенная из вершины прямого
угла, поэтому
OM = 
= 
= 2x.
Катет
OP прямоугольного треугольника
OPM равен половине гипотенузы
OM , следовательно,
OMP = 30
o . Тогда
MDO = 30
o ,
а т.к.
DO – биссектриса угла
ADC , то
ADC = 60
o .
Диагонали четырёхугольника
AKON делятся точкой пересечения пополам, значит,
этот четырёхугольник – параллелограмм, а т.к.
AK=AN , то это ромб с прямым
углом
ANO , т.е. квадрат. Следовательно,
BAD = 90
o .
Аналогично,
ABC = 90
o .
Прямые
AD и
BC перпендикулярны одной и той же прямой
AB , значит,
BC || AD .
Следовательно,
BCD = 180o- ADC = 180o-60o = 120o.
Ответ
60
o ,
120
o ,
90
o ,
90
o .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
5729 |
