Задача 110890

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Продолжения высоты CH и биссектрисы CL треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках P и M соответственно, причём CP=2CH , CM=CL . Найдите углы треугольника ABC .

Решение

Из условия задачи следует, что прямая AB – серединный перпендикуляр к хорде CP , значит, AB – диаметр окружности. Следовательно, ACB = 90^o . Обозначим BAC = α . Пусть CL=4t . Тогда ML = 5t , ABC = 90^o-α . По теореме синусов из треугольников ACL и BCL находим, что

AL= = = ,

BL= = = .
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд AL· LB = CL· LM , или
· = 4t· 5t, = 20t2, sin 2α = .

Ответ

90^o , arcsin = arcsin , 90^o- arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5852