Задача 110897

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Медиана AE и биссектриса CD равнобедренного треугольника ABC ( AB=BC ) пересекаются в точке M . Прямая, проходящая через точку M параллельно AC , пересекает AB и BC в точках P и Q соответственно. Найдите MQ и радиус окружности, описанной около треугольника PQB , если AC=4 , ACB= arctg 2 .

Решение

Обозначим BCD = ACD = α . По условию задачи tg 2α = 2 . Тогда

cos 2α = = = , sin 2α = = .
Пусть BF – высота равнобедренного треугольника ABC . Тогда CF=AF = 2 . Из прямоугольного треугольника BFC находим, что
BC= = = 6,
а т.к. E – середина BC , то CE = 3 . Поскольку CM – биссектриса треугольника ACE ,
= = , =.
Из подобия треугольников EMQ и EAC находим, что
MQ=AC· = 4· = .
Поскольку прямые PQ и AC параллельны и CM – биссектриса угла ACB ,
CMQ = ACM = MCQ.
Значит, треугольник MCQ – равнобедренный, CQ=MQ= . Тогда
BQ = BC-CQ = 6- = .
Пусть R – радиус окружности, описанной около треугольника PQB . По теореме синусов
R= = = = == .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5859