Задача 110907

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность касается стороны AD четырёхугольника ABCD в точке D , а стороны BC – в её середине M . Диагональ AC пересекает окружность в точках K и L , ( AK<AL ). Известно, что AK=5 , KL=4 , LC=1 . Лучи AD и BC пересекаются в точке S , причём ASB = 120^o . Найдите радиус окружности и площадь четырёхугольника ABCD .

Решение

Пусть O – центр окружности, R – её радиус. Поскольку окружность вписана в угол ASB , её центр лежит на биссектрисе этого угла, поэтому OSD = 60^o . Из прямоугольного треугольника ODS находим, что SD=OD ctg 60^o= . По теореме о касательной и секущей

AD = = = 3, CM = = = .
Тогда
SM=SD = , SC = SM-CM = -, SA=SD+AD=+3.
По теореме косинусов AC2=SA2+SC2-2SA· SC cos 120^o , или
100 = (+3)2+ (-)2+ (+3)(-).
Из этого уравнения находим, что R=4- . Тогда
SA=AD+SD = 3+=3+= ,

SB = SM+MB = +=+= ,

S_{Δ ASB} = SA· SB sin 120^o= · · · = ,

SD = = , SC = -=-= ,

S_{Δ DSC} = SD· SC sin 120^o= · · · = .
Следовательно,
S_ABCD = S_{Δ ASB} -S_{Δ DSC}= - = = .

Ответ

R=4- , S_ABCD= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5879