Задача 110909

Темы:    [ Конус ] [ Правильная пирамида ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD ( S – вершина) равна 10. Точки E и F расположены на рёбрах DC и BC соответственно, причём CE=6 , CF=9 . Известно, что для данной пирамиды существует единственный конус, вершина которого совпадает с точкой E , центр основания лежит на прямой SA , а отрезок EF является одной из образующих. Найдите объём этого конуса.

Решение

Лемма.}Если наклонная образует с плоскостью угол ϕ , прямая, лежащая в плоскости, образует с наклонной угол α , а с ортогональной проекцией этой наклонной – угол β , то cos ϕ cos α = cos β . Доказательство.}Пусть l – наклонная к плоскости Π (рис.1), l' – её ортогональная проекция на эту плоскость, а m – прямая, лежащая в плоскости. Можно считать, что все три прямые проходят через одну точку X плоскости Π . Отложим на прямой l отрезок XY=1 и опустим перпендикуляры YZ и YT из точки Y на плоскость Π и прямую m соответственно. Тогда точка Z лежит на прямой l' . По теореме о трёх перпендикулярах ZT XT . Из прямоугольных треугольников XYZ , XYT и XZT находим, что

XZ=XY cos ϕ = cos ϕ, XT= XY cos β = cos β, XT = XZ cos α = cos ϕ cos α.
Следовательно, cos ϕ cos α = cos β , что и требовалось доказать. Решение задачи.} Пусть точка O , лежащая на прямой SA , – центр основания конуса (рис.2). Тогда OF – радиус основания конуса, поэтому образующая EF видна из точки O под прямым углом, а значит, лежит на сфере с диаметром EF и с центром M в середине EF . Поскольку такой конус единственный, сфера имеет с прямой SA единственную общую точку, т.е. касается прямой SA . Следовательно, радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой SA , т.е. MO SA . По теореме Пифагора
EF = = = 3, AF = = = ,

AE = = = .
По формуле для медианы треугольника
AM = = = .
Обозначим MAC = α , OAM = β , SAC = ϕ . Поскольку OM=ME=MF = EF = , из прямоугольного треугольника AOM находим, что
OA = = = 5,

cos β = cos OAM = = =.
По теореме косинусов
cos α = cos CAM = = = .
Тогда по доказанной лемме
cos SAC = cos ϕ = = = .
Обозначим CAE = α' , SAE = β' . По теореме косинусов
cos α' = cos CAE = = =.
Тогда по лемме
cos β' = cos ϕ cos α' = · .
Пусть h – высота конуса, r – радиус основания. Из треугольника AOE по теореме косинусов находим, что
h = OE = =

== = = 3.
Наконец, из прямоугольного треугольника EOF находим, что
r2=OF2 = EF2-OE2 = 117-54=63.
Следовательно, если V – объём конуса, то
V=π r2h = π · 63· 3 = 63π .

Ответ

63π .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8811