Задача 110917

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина) точка P – середина апофемы SD , лежащей в грани SBC . На ребре AB взята точка M , причём MB:AB=2:7 . Сфера, центр которой лежит на прямой MP , проходит через точки A , C и пересекает прямую BC в точке Q так, что CQ=m . Найдите объём пирамиды SABC , если известно, что радиус сферы равен .

Решение

Пусть O – центр сферы, H , O' и P' – ортогональные проекции точек соответственно S , O и P на плоскость основания пирамиды (рис.2). Тогда P' – середина отрезка HD , поэтому

DP' = DH = · AD = AD.
Если прямая CP' пересекает отрезок AB в точке N , то по теореме Менелая, применённой к треугольнику ABD и прямой CN ,
· · = 1, или · · = ,
откуда = , а т.к. по условию задачи = , точка N совпадает с M . Значит, точка O' лежит на прямой CM . С другой стороны, O'A=O'C как проекции равных наклонных OA и OC , поэтому точка O' лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC равностороннего треугольника ABC , т.е. на прямой BH . Следовательно, O' – точка пересечения прямых CM и BH . Обозначим AB=a . Тогда
DP' = AD = , CD = a.
Рассмотрим треугольник DHB и прямую CM . По теореме Менелая
· · = 1, или · · = 1,
откуда = . Тогда, если F – проекция точки O' на сторону CQ , то
= =, или = = ,
откуда a=m . Рассмотрим треугольник AP'M и прямую BH . По теореме Менелая
· · = 1, или · · = 1,
откуда = . Поэтому = . Пусть R1 – радиус окружности сечения. Из треугольника ACQ по теореме косинусов находим, что
AQ = = m=.
Тогда по теореме синусов
R1 = = = .
Из прямоугольного треугольника CO'O (рис.1) находим, что
OO'== =,
а из подобия треугольников PP'M и OO'M –
PP' = OO'· = · = m.
Поэтому,
SH = 2PP' = m.
Следовательно,
V_SABC = S_{Δ ABC}· SH = · · m= · · m= m3.

Ответ

m3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8819