Условие
Высота правильной четырёхугольной пирамиды
SABCD (
S – вершина) в
раз больше ребра основания. Точка
E – середина апофемы,
лежащей в грани
ASB . Найдите угол между прямой
DE и плоскостью
ASC .
Решение
Пусть
SH – высота пирамиды,
M и
N – середины рёбер
AB и
SA
соответственно (рис.1). Положим
AB = a ,
SH = a . На продолжении ребра
CD за точку
D отложим отрезок
DP = 
CD=a . Так
как
EN – средняя линия треугольника
ASM , то
NE || AM ||
DP и
NE = 
AM = a = DP , значит, четырёхугольник
DPNE – параллелограмм, поэтому
PN = DE и
PN || DE . Следовательно,
угол
ϕ между плоскостью
ASC и прямой
DE равен углу между между этой
плоскостью и прямой
PN .
Плоскость
ASC проходит через прямую
SH , перпендикулярную к плоскости
ABCD ,
поэтому плоскости
ASC и
ABCD перпендикулярны, значит, перпендикуляр
PQ , опущенный из точки
P на прямую
AC , есть перпендикуляр к плоскости
ASC .
Поэтому расстояние от точки
P до плоскости
ASC равно длине отрезка
PQ .
Из равнобедренного прямоугольного треугольника
CPQ находим, что
PQ = 
= 
= 
.
Пусть
F – ортогональная проекция точки
E на плоскость основания пирамиды,
K – середина
CD . Тогда
F – середина
HM , поэтому
FK = 
a,
EF = SH = 
,
PN = DE = 
=
=
a.
Из прямоугольного треугольника
PQN (рис.2) находим, что
sin ϕ = sin 
PNQ = 
=
= 
.
Следовательно,
ϕ = 45
o .
Ответ
45
o .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8807 |
