Задача 110947

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точка D является серединой бокового ребра BB1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 . На боковой грани AA1C1C взята точка E , на основании ABC – точка F так, что прямые EB1 и FD параллельны. Какой наибольший объём может иметь призма ABCA1B1C1 , если EB1=1 , FD= , EF= ?

Решение

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через параллельные прямые B1E и DF (рис.1). Эта плоскость содержит боковое ребро BB1 и пересекает рёбра AC и A1C1 в некоторых точках L и K соответственно. Тогда BLKB1 – прямоугольник. Обозначим KB1E = BFD = α . Из прямоугольных треугольников KB1E и BFD находим, что

KB1 = B1E cos α = cos α, KE = B1E sin α = sin α,

BF = DF cos α = cos α, BD = DF sin α = sin α.
Тогда
KL = BB1 = 2BD = sin α, EL = KL-KE = sin α- sin α= sin α,

LF = BL-BF = KB1-BF = cos α- cos α= cos α.
По теореме Пифагора LF2+EL2=EF2 , или cos2 α + sin2 α = , откуда находим, что sin α = . Тогда
cos α = , B1K=BL = cos α = .
Пусть a – сторона основания призмы. Поскольку высота призмы постоянна и равна KL= sin α = · = , объём будет наибольший при наибольшем возможном значении a . Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники с вершиной B1 и точкой K , лежащей на противоположной стороне (рис.2). Из их вершин, лежащих по одну сторону от прямой B1K , отрезок B1K виден под одним и тем же углом, равным 60^o . Значит, эти вершины лежат на одной окружности с точками B1 и K . Наибольшую сторону имеет равносторонний треугольник, сторона которого – диаметр этой окружности, поэтому наибольшую сторону имеет треугольник A1B1C1 , для которого B1K – высота, а т.к. B1K= , то
a= = = .
Следовательно,
V_призмы = · KL = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8839