Задача 110967

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема синусов ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол C равен π - arcsin . На стороне AB взята точка D так, что AD=18 , BD=6 . Найдите радиус окружности, проходящей через вершину C , касающейся стороны AB в точке D и касающейся окружности, описанной около треугольника ABC .

Решение

Данная в условии окружность касается описанной окружности треугольника ABC и проходит через точку C , поэтому окружности касаются в точке C . Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC , R – её радиус, Q – центр указанной в условии второй окружности, r – её радиус, M – середина AB . По теореме синусов

R= = = = =13.
Из прямоугольного треугольника AMO находим, что
OM = = =5.
Пусть H – проекция точки O на прямую QD . Тогда
OH = DM = AD-AM = 18-12=6, DH = OM = 5, QH = DQ+DH = r+5.
Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания, OQ= OC-QC = R-r = 13-r . По теореме Пифагора OQ2=OH2+QH2 , или (13-r)2=36+(r+5)2 . Отсюда находим, что r=3

Ответ

3.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5839