Задача 110971

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O . Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершину B , касается стороны AC и пересекает сторону AB в точке K такой, что BK:AK=5:1 . Найдите длину стороны BC .

Решение

Пусть BH – высота треугольника ABC . Поскольку окружность с центром O касается прямой AC и OH AC , эта окружность касается AC в точке H и BH – её диаметр. Точка K лежит на окружности с диаметром BH , поэтому BKH = 90^o , значит, HK – высота прямоугольного треугольника AHB , проведённая из вершины прямого угла. Обозначим AK=t . Тогда BK=5t , AB=6t и BH2=AB· BK , или 4R2=5t· 6t , откуда находим, что t=R . Обозначим BAC = α . Из прямоугольного треугольника BAH находим, что

sin α = = = = = .
Тогда
cos α = , tg α = .
Из прямоугольного треугольника CHO находим, что
HC = OH ctg (90^o-α) = OH tg α = R.
Следовательно,
BC= = = 3R.

Ответ

3R .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5843