Задача 110972

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Биссектриса AD и высота BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O . Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершину A , середину стороны AC и пересекает сторону AB в точке K такой, что AK:KB=1:3 . Найдите длину стороны BC .

Решение

Пусть M – середина стороны AC , F – пересечение продолжения радиуса AO с окружностью. Тогда AF – диаметр окружности. Поскольку E – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на хорду AM , точка E – середина AM . Обозначим AE=a . Тогда

EM=AE= a, AM = 2a, AC = 2AM = 4a.
Точки K и M лежат на окружности с диаметром AF , поэтому AKF = AMF = 90^o . Из равенства прямоугольных треугольников AKF и AMF (по гипотенузе и острому углу) следует, что AK=AM = 2a . Тогда BK = 3AK = 6a , AB = 8a . Обозначим BAD = CAD = α . Из прямоугольного треугольника ABE находим, что
cos 2α = cos BAE = = = .
Тогда
cos α = = = .
Из прямоугольного треугольника AEO находим, что a=AE= AO cos α = . По теореме косинусов
BC= = =

=6a = 6· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5844