Задача 110997

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Отношение объемов ] [ Параллелепипеды ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точка M – середина бокового ребра AA1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Прямые BD , MD1 и A1C попарно перпендикулярны. Найдите высоту параллелепипеда, если BD=2a , BC=a , A1C=4a .

Решение

Рассмотрим сечение данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B1 , D1 и M (рис.1). Прямая A1C перпендикулярна этой плоскости, поскольку A1C MD1 и A1C B1D1 (т.к. A1C BD , а B1D1 || BD ). Пусть K – центр параллелограмма A1B1C1D1 . Плоскости B1MD1 и ACC1A1 пересекаются по прямой MK , значит, прямая A1C пересекает сечение B1MD1 в некоторой точке Q , лежащей на отрезке MK , причём A1QD1 = 90^o , т.к. прямая D1Q лежит в плоскости B1MD1 , перпендикулярной A1C . Пусть O – точка пересечения диагоналей паралелограмма ACC1A1 . Заметим, что MK – средняя линия треугольника AA1C , а т.к. A1O – медиана этого треугольника, то Q – общая середина отрезков A1C и MK . Значит,

A1Q=A1O = A1C = · 4a = a.
Из прямоугольного треугольника A1QD1 находим, что
D1Q = = = = .
Заметим, что MD1B1 = 90^o , т.к. D1M BD , а B1D1 || BD . Значит, D1Q – медиана прямоугольного треугольника MD1K (рис.2), проведённая из вершины прямого угла. Поэтому MK=2D1Q = a , а т.к. D1K = B1D1 = BD = · 2a = a , то
D1M = = = 2a.
Пусть V1 – объём тетраэдра A1B1D1M . Поскольку A1Q=a – высота тетраэдра, а его основание – прямоугольный треугольник B1D1M с катетами B1D1=D1M = 2a , то
V1 = · B1D1· D1M · A1Q = · · 2a· 2a · a = a3.
Поскольку площадь основания параллелепипеда вдвое больше площади основания A1B1D1 тетраэдра, а высота параллелепипеда вдвое больше высоты тетраэдра, опущенной из вершины M , объём V параллелепипеда в 12 раз больше объёма тетраэдра, т.е.
V=12V1 = 12· a3 = 8a3.
Через вершину C1 параллелограмма A1B1C1D1 проведём прямую, параллельную диагонали B1D1 . Пусть эта прямая пересекается с продолжением стороны A1D1 в точке P . Тогда площадь параллелограмма A1B1C1D1 равна площади треугольника A1C1P со сторонами C1P = B1D1 = 2a , A1C=3a и A1P = 2A1D1 = 2· a =3a . Пусть A1H – высота этого равнобедренного треугольника. Тогда
A1H = == 2a.
Поэтому
S_A1B1C1D1 = S_{Δ A}1C1P = C1P· A1H = · 2a· 2a = 2a2.
Пусть h – искомая высота параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Тогда
h = = = 2a.

Ответ

2a .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8869