Задача 111061

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Высота треугольника, равная 2, делит угол треугольника в отношении 2:1, а основание треугольника – на части, меньшая из которых равна 1. Найдите площадь треугольника.

Решение

Пусть BD=2 – высота треугольника ABC , AD=1 . У прямоугольных треугольников ABD и CBD общий катет BD , а по условию задачи катет AD первого треугольника меньше катета CD второго. Значит, ABD < CBD . Обозначим ABD = α . Тогда CBD = 2α . Из прямоугольного треугольника ABD находим, что

tg α = = .
Тогда
tg 2α = = = .
Тогда в прямоугольном треугольнике CBD
CD = BD· tg CBD = 2· tg 2α = 2· = .
Следовательно,
S_{Δ ABC} = AC · BD = (1+)· 2= .


Пусть BD=2 – высота треугольника ABC , AD=1 . У прямоугольных треугольников ABD и CBD общий катет BD , а по условию задачи катет AD первого треугольника меньше катета CD второго. Значит, ABD < CBD . Обозначим ABD = α . Тогда CBD = 2α . Пусть биссектриса угла DBC пересекает отрезок CD в точке E . Тогда треугольник ABE – равнобедренный, т.к. его высота BD является биссектрисой. Поэтому DE = AD = 1 . Поскольку BD = 2DE , то по свойству биссектрисы треугольника BC = 2CE . Обозначим CE=x . По теореме Пифагора
BC2 = BD2+CD2, или 4x2 = 4 + (1+x)2.
Из этого уравнения находим, что x= . Следовательно,
S_{Δ ABC} = AC · BD = (1+1+)· 2= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4416