Условие
Через противоположные рёбра AB и CD тетраэдра ABCD проведены
две параллельные плоскости. Аналогично, две параллельные плоскости проведены
через рёбра BC и AD , а также – через рёбра AC и BD . Эти шесть
плоскостей задают параллелепипед.
Докажите, что если тетраэдр ABCD – ортоцентрический (его высоты пересекаются
в одной точке), то все рёбра параллелепипеда равны;
а если тетраэдр ABCD – равногранный (все его грани – равные между собой треугольники),
то параллелепипед – прямоугольный.
Решение
а) Известно, что противолежащие рёбра ортоцентрического тетраэдра
попарно перпендикулярны: AB 
CD , AC BD и AD BC .
Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC
( AN || KD || BM || LC ), проведя через
его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Так как KL || CD , то KL AB , поэтому параллелограмм AKBL
– ромб, значит, AK=KB=BL=AL . Аналогично, AK=KD=DN=AN и AL=LC=CN=AN .
Следовательно, все рёбра параллелепипеда AKBLNDMC равны.
б) Известно, что противолежащие рёбра равногранного тетраэдра
попарно равны: AB = CD , AC = BD и AD = BC .
Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC
( AN || KD || BM || LC ), проведя через
его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Так как KL = CD , то KL = AB , поэтому параллелограмм AKBL
– прямоугольник. Аналогично, остальные грани
параллелепипеда AKBLNDMC – прямоугольники, т.е. параллелепипед –
прямоугольный.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
7994 |
