Задача 111115

Темы:    [ Ортоцентрический тетраэдр ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре выполняется соотношение OH2=4R2-3l2 , где H – ортоцентр тетраэдра, R – радиус описанной сферы, l – расстояние между серединами противоположных рёбер.

Решение

Известно, что противоположные рёбра ортоцентрического тетраэдра попарно перпендикулярны, а точка T пересечения медиан такого тетраэдра – середина отрезка OH . Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Пусть AB CD , AC BD и AD BC . Поскольку KL || CD , то KL AB , поэтому параллелограмм AKBL – ромб. Аналогично докажем, что все шесть граней параллелепипеда AKBLNDMC – ромбы. Отрезки, соединяющие центры противоположных граней параллелепипеда, также равны сторонам ромбов. Значит, все рёбра параллелепипеда и отрезки, соединяющие центры его противоположных граней, равны l . Пусть P и Q – середины противоположных рёбер AB и CD тетраэдра ABCD , т.е. центры противоположных граней AKBL и CMDN параллелепипеда AKBLNDMC . Поскольку T – центр параллелепипеда, отрезок PQ делится точкой T пополам. Значит, четырёхугольник HPOQ – параллелограмм, причём PQ = l . Точки P и Q – середины хорд AB и CD сферы с центром O , поэтому OP AB и OQ CD . Из прямоугольных треугольников OPB и OQC находим, что

OP2 = OB2-BP2 = R2-, OQ2 = OC2-CQ2 = R2-.
Применяя к параллелограммам HPOQ и AKBL теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма, получим, что
OH2 = 2PO2+2OQ2-PQ2 = 2(R2-)+(R2-) - l2=

=4R2 --l2 = 4R2 --l2 =

=4R2 --l2 = 4R2 -3l2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7997