Задача 111139

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём тетраэдра ABCD с рёбрами AB=3 , AC=5 и BD = 7 , если расстояние между серединами M и N его рёбер AB и CD равно 2, а прямая AB образует равные углы с прямыми AC , BD и MN .

Решение

Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда APBQECGD , проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей ( AE || PC || BG || QD ). Тогда AE || MN , AE=MN = 2 . На продолжении отрезка CE за точку E отложим отрезок EF , равный CE . Тогда AFEP – параллелограмм, поэтому AF || PE || BD и AF=PE = BD = 7 . Поскольку прямая AB образует равные углы с прямыми BD и MN , она образует равные углы и с параллельными им прямыми AF и AE . Значит, прямая AB образует равные углы с прямыми AF , AE и AC , лежащими в плоскости AECP . Поэтому ортогональная проекция точки B на эту плоскость попадает на биссектрису каждого из углов между прямыми AF и AE , AF и AC , AE и AC . Следовательно, ортогональная проекция точки B на плоскость AECP совпадает с точкой A , т.е. AB – перпендикуляр к этой плоскости. Значит, AB – высота четырёхугольной пирамиды BAECP , основание которой – параллелограмм AEСP со сторонами AE=CP= 2 и диагоналями AC=5 и EP=7 . На продолжении ребра AE за точку E отложим отрезок EH = AE=2 . Тогда AH=2AE = 4 , CH=PE=7 , а

S_AECP = S_{Δ AHC} = =4.
Заметим, что и объём тетраэдра ABCD и объём пирамиды BAECP равны третьей части объёма параллелепипеда APBQECGD . Следовательно,
V_ABCD = V_BAEСP = S_AECP· AB = · 4· 3= 4.

Ответ

4 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8631