Задача 111141

Темы:    [ Конус ] [ Поверхность круглых тел ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Угол между прямыми, каждая из которых содержит по одной образующей конуса, равен 45^o . Прямая, перпендикулярная обеим эти образующим, пересекает плоскость основания конуса под углом . Найдите угол боковой развёртки конуса, если он больше 270^o .

Решение

Пусть A – вершина конуса, AB и AC – образующие конуса, о которых говорится в условии задачи, AO – высота конуса, M – середина хорды BC основания конуса, D – точка, в которой прямая, проходящая через точку A , пересекает плоскость основания конуса (можно считать, что прямая, о которой говорится в условии задачи, проходит через точку A ). Обозначим AB=AC = l , OB=OC=r , AO=h . Прямая AD перпендикулярна плоскости ABC , т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и AC этой плоскости. Значит, AD BC и AD AM . Поскольку DO – ортогональная проекция прямой AD на плоскость основания конуса, DO BC по теореме о трёх перпендикулярах, а т.к. OM BC , то точки D , O и M лежат на одной прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник MAD . В нём известно, что AO – высота, проведённая из вершины прямого угла,

OAM = ADM = , AO = h, AM = = .
Предположим, что BAC = . Из равнобедренного треугольника ABC находим, что
AM = AB· cos BAM = l cos .
Из равенства =l cos находим, что
= cos2 = = (1+).
Из прямоугольного треугольника AOB находим, что
r=OB = = .
Пусть γ – искомый угол в развёртке боковой поверхности конуса. Тогда
γ = · 2π = · 2π = · 2π = · 2π =

=· 2π= π < π,
т.к. < . Пусть теперь BAC = π - = π . Тогда аналогично предыдущему получим, что
AM = AB· cos BAM = l cos .
Из равенства =l cos находим, что
= cos cos = cos sin = sin = ,

γ = · 2π = · 2π = · 2π = · 2π =

=· 2π= 2π = π > π.

Ответ

π .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8633