Задача 111181

Темы:    [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ] [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Метод координат в пространстве ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 – прямоугольник ABCD со сторонами AB=2 и BC=4 . Высота OO1 параллелепипеда равна 4 ( O и O1 – центры граней ABCD и A1B1C1D1 соответственно). Сфера радиуса 3 с центром на высоте OO1 касается плоскости основания. Найдите сумму квадратов расстояний от точки, принадлежащей сфере, до всех вершин параллелепипеда при условии, что она максимальна.

Решение

Докажем сначала, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки пространства до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других его вершин. Действительно, пусть KLMN – прямоугольник со сторонами KL=a и MN=b . Выберем прямоугольную систему координат, направив ось OX по лучу KL , ось OY – по лучу KM , а ось OZ по лучу с началом в точке K и перпендикулярному плоскости прямоугольника. Пусть P(x;y;z) – произвольная точка пространства. Найдём квадраты расстояний от этой точки до вершин K(0;0;0) , L(a;0;0) , M(a;b;0) и N(0;b;0) :

PK2 = (x-0)2+(y-0)2+(z-0)2 = x2+y2+z2,

PL2 = (x-a)2+(y-0)2+(z-0)2 = (x-a)2+y2+z2,

PM2 = (x-a)2+(y-b)2+(z-0)2 = (x-a)2+(y-b)2+z2,

PN2 = (x-0)2+(y-b)2+(z-0)2 = x2+(y-b)2+z2.
Следовательно,
PK2 +PM2 = (x2+y2+z2)+ ((x-a)2+(y-b)2+z2)=

=((x-a)2+y2+z2) + (x2+(y-b)2+z2) = PL2+PN2.
Что и требовалось доказать. Выберем прямоугольную систему координат, приняв за начало координат центр O основания ABCD данного параллелепипеда. Ось OZ направим по лучу OO1 , ось OX – по лучу OE , где E – середина ребра AD , а ось OY – по лучу OG , где G – середина ребра CD . Тогда координаты точек A и C1 – A(1;-2;0) , C1(-1;2;4) . Пусть F(x;y;z) – произвольная точка данной сферы. Тогда её координаты удовлетворяют уравнению сферы: x2+y2+(z-3)2 = 9 , или x2+y2+z2 = 6z , причём 0 z 6 . Применяя доказанное выше утверждение к прямоугольникам ABCD , A1B1C1D1 , AA1C1C и точке F , получим, что
FA2+FB2+FC2+FD2 + FA12+FB12+FC12+FD22=

= (FA2+FC2)+(FB2+FD2) + (FA12+FC12)+(FB12+FD22)=

=2(FA2+FC2)+2(FA12+FC12) = 2(FA2+FC2+FA12+FC12)=

= 2((FA2+FC12)+(FC2+FA12)) = 2(2(FA2+FC12))=

=4(FA2+FC12) = 4((x-1)2+(y+2)2+z2 + (x-1)2+(y+2)2+z2)=

=4(2x2+2y2+2z2 - 8z+26) = 8(x2+y2+z2 - 4z+13)=

=8(6z-4z+13) = 8(2z+13) 8(12+13) = 200,
причём равенство достигается для точки F1(0;0;6) , диаметрально противоположной точке O .

Ответ

200.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8843