Задача 111188

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Три шара касаются некоторой плоскости и попарно касаются друг друга. Найдите радиусы шаров, если известно, что точки касания шаров с плоскостью являются вершинами треугольника со сторонами a , b и c .

Ответ

Пусть O1 , O2 и O3 – центры данных шаров, x , y и z соответственно – их радиусы, A , B и C соответственно – точки касания шаров с общей касательной плоскостью, AB=c , AC=b , BC=a . Отрезки O1A и O1B – радиусы, проведённые в точки касания с касательной плоскостью, поэтому O1A || O1B . Рассмотрим сечение шаров с центрами O1 и O2 плоскостью, проходящей через параллельные прямые O1A и O1B . Получим касающиеся внешним образом окружности с центрами O1 и O2 и прямую, касающуюся этих окружностей в точках A и B . Тогда

с = AB = 2 = 2.
Аналогично получим, что а = 2 и b = 2 . Из системы

находим, что x= , y= , z= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8850