Условие
В тетраэдре ABCD двугранные углы при рёбрах AB , AC и BD
– прямые. Один из отрезков, соединяющих середины противоположных рёбер
тетраэдра, имеет длину a , а другой – длину a
. Найдите длину
наибольшего ребра тетраэдра.
Решение
Плоскости граней ABD и ACD перпендикулярны плоскости грани ABC
и пересекаются по прямой AD , значит, ребро AD – перпендикулярно
плоскости грани ABC . Поэтому 
BAD = CAD = 90o .
Плоскости граней ABC и BCD перпендикулярны плоскости грани ABD
и пересекаются по прямой BC , значит, ребро BC – перпендикулярно
плоскости грани ABD . Поэтому CBD = ABC = 90o .
Отрезок CD – общая гипотенуза прямоугольных треугольников ACD и
BCD , поэтому CD>AC , CD>AC , CD> BD , CD>BC , а т.к. AC –
гипотенуза прямоугольного треугольника ABC , то СВ > AC>AB . Следовательно,
CD – наибольшее ребро тетраэдра ABCD .
Пусть K , L , M и N – середины рёбер BD , CD , AC и AB
соответственно. Отрезки KL и MN – средние линии треугольников
BCD и ABC , поэтому KL || BC , KL = 
BC ,
MN || BC , MN = BC . Значит, четырёхугольник KLMN –
параллелограмм, а т.к. AD 
BC и KN || AD , то KN KL .
Поэтому KLMN – прямоугольник. Следовательно, его диагонали KM и LN
равны.
Пусть P и Q – середины рёбер AD и BC соответственно. Обозначим
BC=x , AD=y . Тогда KL=
, KN=
. Предположим, что
KM=NL = a . Тогда PQ = a . Из прямоугольного треугольника KLN находим, что
+
= 6a2 . Значит,
a2 = PQ2 = AP2+AQ2 = AP2+BQ2+AB2 =
++ AB2 = 6a2+AB2> a2,
что невозможно. Следовательно,
KM=LN=a и
PQ=a . Тогда
+ = a2, x2+y2 = 4a2,
6a2 = PQ2 = AP2+AQ2 = AP2+(BQ2+AB2) =
++ AB2 = a2+AB2,
AB2 = 6a2-a2 = 5a2.
Поэтому
CD2 = AD2+AC2 = AD2+(BC2+AB2) = y2+x2+5a2 =
4a2+5a2 = 9a2.
Следовательно,
CD=3
a .
Ответ
3a .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8871 |
