Условие
В тетраэдре
ABCD двугранные углы при рёбрах
AB ,
AC и
BD
– прямые. Один из отрезков, соединяющих середины противоположных рёбер
тетраэдра, имеет длину
a , а другой – длину
a
. Найдите длину
наибольшего ребра тетраэдра.
Решение
Плоскости граней
ABD и
ACD перпендикулярны плоскости грани
ABC
и пересекаются по прямой
AD , значит, ребро
AD – перпендикулярно
плоскости грани
ABC . Поэтому
BAD = CAD = 90
o .
Плоскости граней
ABC и
BCD перпендикулярны плоскости грани
ABD
и пересекаются по прямой
BC , значит, ребро
BC – перпендикулярно
плоскости грани
ABD . Поэтому
CBD = ABC = 90
o .
Отрезок
CD – общая гипотенуза прямоугольных треугольников
ACD и
BCD , поэтому
CD>AC ,
CD>AC ,
CD> BD ,
CD>BC , а т.к.
AC –
гипотенуза прямоугольного треугольника
ABC , то
СВ > AC>AB . Следовательно,
CD – наибольшее ребро тетраэдра
ABCD .
Пусть
K ,
L ,
M и
N – середины рёбер
BD ,
CD ,
AC и
AB
соответственно. Отрезки
KL и
MN – средние линии треугольников
BCD и
ABC , поэтому
KL || BC ,
KL = 
BC ,
MN || BC ,
MN = BC . Значит, четырёхугольник
KLMN –
параллелограмм, а т.к.
AD 
BC и
KN || AD , то
KN KL .
Поэтому
KLMN – прямоугольник. Следовательно, его диагонали
KM и
LN
равны.
Пусть
P и
Q – середины рёбер
AD и
BC соответственно. Обозначим
BC=x ,
AD=y . Тогда
KL=
,
KN=
. Предположим, что
KM=NL = a . Тогда
PQ = a . Из прямоугольного треугольника
KLN находим, что
+
= 6
a2
. Значит,
a2 = PQ2 = AP2+AQ2 = AP2+BQ2+AB2 =
++ AB2 = 6a2+AB2> a2,
что невозможно. Следовательно,
KM=LN=a и
PQ=a . Тогда
+ = a2, x2+y2 = 4a2,
6a2 = PQ2 = AP2+AQ2 = AP2+(BQ2+AB2) =
++ AB2 = a2+AB2,
AB2 = 6a2-a2 = 5a2.
Поэтому
CD2 = AD2+AC2 = AD2+(BC2+AB2) = y2+x2+5a2 =
4a2+5a2 = 9a2.
Следовательно,
CD=3
a .
Ответ
3
a .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8871 |
