ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111197
Условие
В правильной призме ABCA1B1C1 длина стороны основания равна
2a , длина бокового ребра – a . Через вершину A проведена плоскость
перпендикулярно прямой AB1 , через вершину B – плоскость
перпендикулярно прямой BC1 , через вершину C – плоскость
перпендикулярно прямой CA1 . Найдите объём многогранника,
ограниченного этими тремя плоскостями и плоскостью A1B1C1 .
Решение
Пусть плоскость α , проходящая через вершину A призмы перпендикулярно
AB1 , пересекает плоскость основания A1B1C1 по прямой l . Продолжим
отрезок A1B1 до пересечения с прямой l в точке K . Тогда
AK По теореме о трёх перпендикулярах A1B1 Пусть прямая l пересекает прямые m и n в точках B2 и C2 соответственно, а прямые m и n пересекаются в точке A2 . Тогда треугольник A2B2C2 – равносторонний, причём его центр совпадает с центром O равностороннего треугольника A1B1C1 . Следовательно, многогранник, о котором говорится в условии задачи, – правильная треугольная пирамида PA2B2C2 с основанием A2B2C2 . По теореме косинусов из треугольника KB1M находим, что Из точек K и M отрезок C2B1 виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром C2B1 . По теореме синусов Из прямоугольных треугольников B1KC2 и B1MC2 находим, что Тогда Заметим, что A1K – ортогональная проекция наклонной AK на плоскость A1B1C1 . По теореме о трёх перпендикулярах AK а т.к. PHO – линейный угол двугранного угла между боковой гранью и основанием этой пирамиды, то Ответ
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке