ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111206
Темы:    [ Площадь сечения ]
[ Правильная пирамида ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Площадь и ортогональная проекция ]
[ Симметрия относительно плоскости ]
[ Площадь трапеции ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через середину ребра AC правильной треугольной пирамиды SABC (S – вершина) проведены плоскости α и β, каждая из которых образует угол 30° с плоскостью ABC. Найдите площади сечений пирамиды SABC плоскостями α и β, если эти сечения имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани ABC, а плоскость α перпендикулярна ребру SA.


Решение

  Пусть O – центр основания ABC, N, E, M – середины рёбер AB, BC, AC соответственно, K – точка пересечения плоскости α с ребром AS.
  Средняя линия MN равностороннего треугольника ABC перпендикулярна медиане AE и, следовательно, ребру AS (по теореме о трёх перпендикулярах). Значит, плоскость α пересекает плоскость основания пирамиды по прямой MN. По условию  MN = 1  (откуда  BC = 2).  По теореме о площади проекции

  По условию задачи обе плоскости сечения проходят через прямую MN, значит, сечения симметричны относительно плоскости ASE. Следовательно, сечение пирамиды плоскостью β – равнобедреная трапеция MPQN (P и Q – точки пересечения этой плоскости с боковыми рёбрами CS и BS). Пусть L и T – середины оснований MN и PQ этой трапеции.
  Заметим, что  ∠SAE = 90° – ∠SAE = 60°.  Пусть     Тогда  AO = 2h,  AS = 2h : cos 60° = 4h.  Согласно задаче 56798 длина биссектрисы AF треугольника ASE равна     Поскольку  ∠TLE = 30°,  то LT – средняя линия треугольника FAE, поэтому
LT = ½ AF = 6/7.
  По свойству биссектрисы  SF : FE = AS : AE = 4 : 3.  Значит,  TE = ½ FE = 3/14 SE.
  Из подобия треугольников SPQ и SCB находим, что  PQ = BC·ST/SE = 2·11/14 = 11/7.  Следовательно,  SMPQN = ½ (MN + PQLT = ½ (1 + 11/76/7 = 54/49.


Ответ

3/8, 54/49.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8888

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .