|
|
 |
Условие
Основание прямой призмы KLMNK1L1M1N1 – ромб
KLMN с углом 60o при вершине K . Точки E и F –
середины рёбер LL1 и LM призмы. Ребро SA правильной
четырёхугольной пирамиды SABCD ( S – вершина) лежит на
прямой LN , вершины D и B – на прямых MM1 и EF
соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды,
если SA=2AB .
Решение
Прямая LN перпендикулярна двум пересекающимся
прямым KM и LL1 плоскости MM1K1K , поэтому прямая LN перпендикулярна
этой плоскости. Тогда, любая прямая, проходящая через точку P перпендикулярно
NL (или совпадающей с ней прямой SA ), лежит в плоскости MM1K1K .
Известно, что боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды перпендикулярно,
скрещивающейся с ним диагонали основания. Кроме того, если прямая l и плоскость
α перпендикулярны одной и той же прямой, то прямая l либо лежит
в плоскости α , либо параллельна ей.
Скрещивающиеся прямые SA и BD перпендикулярны и плоскость MM1K1K
перпендикулярна прямой SA , поэтому прямая BD либо
лежит в плоскости MM1K1K , либо параллельна ей. Второй случай
исключается, т.к. по условию задачи точка D лежит на прямой MM1 , т.е.
является общей точкой прямой BD и плоскости MM1K1K . Значит,
прямая BD лежит в плоскости MM1K1K . В то же время, точка B лежит
в плоскости MM1L1L , т.к. она лежит на прямой EF этой плоскости.
Следовательно, точка B лежит на прямой MM1 пересечения плоскостей
MM1K1K и MM1L1L . Тогда M – середина диагонали основания
ABCD пирамиды.
Тогда MP – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых SA и BD . Обозначим
AB=a . Тогда
Из равенства треугольников BMF и ELF следует, что EL = MB = MD =
Следовательно,
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8892 |
