Задача 111211

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Прямая призма ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Точки E и F – середины рёбер CC1 и C1D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Ребро KL правильной треугольной пирамиды KLMN ( K – вершина) лежит на прямой AC , а вершины N и M – на прямых DD1 и EF соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если AB:BC=4:3 , KL:MN=2:3 .

Решение

Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AC . Прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC и DD1 плоскости DD1P , поэтому прямая AC перпендикулярна этой плоскости. Тогда, любая прямая, проходящая через точку P перпендикулярно AC (или совпадающей с ней прямой KL ), лежит в плоскости DD1P . Известно, что боковое ребро правильной треугольной пирамиды перпендикулярно, скрещивающимся с ним боковым ребром. Кроме того, если прямая l и плоскость α перпендикулярны одной и той же прямой, то прямая l либо лежит в плоскости α , либо параллельна ей. Скрещивающиеся прямые KL и MN перпендикулярны и плоскость DD1P перпендикулярна прямой KL , поэтому прямая MN либо лежит в плоскости DD1P , либо параллельна ей. Второй случай исключается, т.к. по условию задачи точка N лежит на прямой DD1 , т.е. является общей точкой прямой DD1 и плоскости DD1P . Значит, прямая MN лежит в плоскости DD1P . В то же время, точка M лежит в плоскости DD1C1C , т.к. она лежит на прямой EF этой плоскости. Следовательно, точка M лежит на прямой DD1 пересечения плоскостей DD1C1C и DD1P . Тогда DP – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых DD1 и KL , а.т.к общий перпендикуляр противоположных рёбер правильной треугольной пирамиды проходит через середину ребра основания, то D – середина MN Положим AB=4a , BC=3a , KL=2b , MN=3b . Пусть H – центр основания MNL правильной пирамиды KLMN . Из прямоугольного треугольника KHL находим, что

cos KLH = = = · KL= · 2b=.
Поэтому DLP = KLH = 30^o и
DP = DL=· = , KH = KL = b.
Пусть прямые EF и CD пересекаются в точке G . Из равенства треугольников MFD1 , EFC1 и EGC следует, что CG=FC1=FD1 , а из подобия треугольников MFD1 и MGD –
= = = = .
Поэтому
DD1 = MD = · MN = · 3b=b.
Из прямоугольного треугольника ACD находим, что
AC = = = 5a, DP = = = a.
Тогда a = , откуда a= . Пусть V1 и V2 – объёмы параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и пирамиды KLMN . Тогда
V1=S_ABCD· DD1 = 3a· 4a · b = 12a2b= 12a2b = 12()2· b= ,

V2 = S_MNL· KH = · · b= .
Следовательно,
= = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8893