Условие
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит ромб
ABCD с острым углом при вершине A . Высота ромба равна 4, точка
пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины
S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех
граней пирамиды. Найдите объём пирамиды, если расстояние от центра сферы
до прямой AC равно 
AB .
Решение
Центр сферы, касающейся двух пересекающихся плоскостей лежит в биссекторной
плоскости одного из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Для
данной пирамиды такая сфера либо вписана в пирамиду, либо касается плоскости
основания и продолжений всех боковых граней, либо касается одной из боковых
граней и продолжений остальных граней.
Пусть SK и SN – высоты треугольников ASB и DSC соответственно, H –
центр ромба ABCD .
Если сфера вписана в пирамиду SABCD , то её центр O лежит на высоте SH ,
т.к. биссекторные плоскости двугранных углов, образованных соседними боковыми
гранями такой пирамиды пересекаются по прямой SH . По теореме о трёх перпендикулярах
HK 
AB и HN CD , и т.к. AB || CD , то точки K , H и N
лежат на одной прямой – высоте ромба ABCD . Плоскость ASB проходит через прямую
AD , перпендикулярную плоскости KSN , поэтому плоскости ASB и KSN перпендикулярны,
значит, перпендикуляр OE , опущенный из точки O на прямую SK пересечения
плоскостей ASB и KSN (т.е. радиус сферы), лежит в плоскости KSN .
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью KSN . В четырёхугольнике OEKH известно,
что OE = OH = KH = 2 и 
OEK = OHK = 90o . Из
равенства прямоугольных треугольников OHK и OEK (по катету и гипотенузе)
следует, что EK = KH = 2 , поэтому OEKH – квадрат, что невозможно, т.к.
EKH < 90o . Таким образом, сфера не может быть вписана в данную пирамиду.
Аналогично доказывется, что сфера не может касаться грани ABCD и продолжения всех
боковых граней пирамиды.
Пусть сфера касается грани DSC и продолжений остальных граней пирамиды.
Плоскости ASB и CSD проходят через параллельные прямые AB и CD , поэтому прямая
l их пересечения параллельна каждой и этих прямых. Пусть F – точка на продолжении
отрезка KS за точку S . Тогда FSN линейный угол двугранного угла, содержащего
центр O1 сферы. Тогда биссектриса m этого угла лежит в биссекторной плоскости α
рассматриваемого двугранного угла и параллельна KN как биссектриса внешнего угла при
вершине S равнобедренного треугольника KSN , а т.к. две пересекающиеся прямые l и
m плоскости α соответственно параллельны прямым AB и KN плоскости
ABCD , то плоскость α параллельна плоскости ABCD . Аналогично доказывется, что
плоскость α – биссекторная плоскость двугранного угла между продолжениями
граней ASD и BSC .
Таким образом, радиус сферы равен расстоянию между параллельными плоскостями α и
ABCD . Поэтому SH=2 , а т.к. NH = 
KN = 2 , то SN = 2
.
Биссекторная плоскость двугранного угла между плоскостями ABCD и CSD , содержащая
центр этой сферы, проходит через прямую CD , параллельную плоскости α , и пересекает
плоскость α , поэтому прямая пересечения параллельна прямой CD . Аналогично,
остальные биссекторные плоскости двугранный углов, смежных с двугранными углами пирамиды при
рёбрах её основания, пересекают плоскость α по прямым, параллельным этим рёбрам. Пусть
OAOBOCOD – четырёхугольник, образованный пересечением этих четырех прямых.
Его противоположные стороны попарно параллельны, значит, это – параллелограмм. Его диагонали
соответственно параллельны диагоналям ромба ABCD , значит, OAOBOCOD – ромб,
подобный ромбу ABCD . Таким образом, центром сферы, о которой говорится в условии задачи, не
может быть точка, отличная от точек OA , OB , OC и OD , т.к. только эти точки
плоскости α равноудалены от плоскостей всех граней пирамиды.
Поскольку SOD || HN , точка OD лежит в плоскости KSN , причём
NOD – биссектриса угла SNG , смежного с углом SNK . Поэтому
SODN = ODNG = SNOD , значит, SOD=SN , а коэффицент
подобия ромбов OAOBOCOD и ABCD равен 
= 
=
.
Точки OA и OC не удовлетворяют условию задачи, т.к. тогда их расстояние до
прямой AC равно расстоянию между плоскостями α и ABCD , т.е. 2, поэтому
AB=2 , откуда AD = AB = 
< 4 = KN , что невозможно,
т.к. сторона ромба меньше его высоты.
Рассмотрим точку OD . Обозначим AB=x . Из подобия ромбов следует, что
DH = 
SOD . Поскольку ортогональная проекция прямой ODH на
плоскость основания пирамиды есть прямая DH и DH AC , то по теореме о трёх
перпендикулярах ODH AC , значит, длина отрезка ODH и есть расстояние от
точки OD до прямой AC , а т.к. по условию это расстояние равно x ,
то из прямоугольного треугольника SHOD находим, что
SOD2 = ODH2 - SH2 = (x)2-22=
x2-4.
Тогда
DH2 = SOD2 = 
x2-2.
Пусть
Q – проекция точки
B на сторону
CD ромба
ABCD . Тогда
BQ=KN = 4, CQ = 
= 
,
DQ = CD-CQ = x-,
BD2 = BQ2+DQ2 = 16+ (x-)2,
DH2 = 
BD2 = (16+ (x-)2)=
(16+ (x-)2)=(x2-x),
Из уравнения
x2
-2
=(
x2
-x)
находим, что
x=3
. Следовательно,
VSABCD = 
SABCD· SH =
AB· KN· SH = · 3· 4· 2=
8.
Ответ
8 .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8909 |
