Точки O₁ и O₂ – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC).  Описанные окружности треугольников ABC и O₁O₂A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O₁O₂A.

   Решение

На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Докажите, что центр O описанной окружности треугольника ABC лежит на описанной окружности треугольника KBM.

   Решение

В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй – на 20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?

   Решение

Темы:    [ Задачи на проценты и отношения ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй – на 20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?

Решение

Маша в первый день собрала ¾, а во второй – ⁶/₅ от числа грибов, собранных в эти дни Васей. Пусть Вася собрал в первый день 4x грибов, а во второй – 5y, тогда Маша собрала 3x и 6y грибов соответственно. По условию  3x + 6y = ¹¹/₁₀ (4x + 5y).  Это равенство легко преобразуется к виду  14x = 5y.  Теперь ясно, что x кратно 5, а  y кратно 14, значит, наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие этому равенству:  x = 5,  y = 14,  а общее количество грибов  ²¹/₁₀ (4x + 5y) = 189.

Ответ

189 грибов.

Источники и прецеденты использования