Задача 111266

Темы:    [ Симметричные неравенства для углов треугольника ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Теорема синусов ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .

Решение

Первый способ ("тригонометрический"). Докажем сначала вспомогательное утверждение: Если α , β и γ – углы произвольного треугольника, то cos²α+ cos²β+ cos²γ+2 cosα cosβ cosγ=1 .
Действительно, так как γ=180^o-(α+β) , то cos²α+ cos²β+ cos²γ+2 cosα cosβ cosγ-1 = cos²α+ cos²β+ cos²(α+β)-2 cosα cosβ cos(α+β)-1 = +-1 + cos²(α+β)-2 cosα cosβ cos(α+β) = + cos²(α+β)-( cos(α+β)+ cos(α-β)) cos(α+β) = cos(α+β) cos(α-β)+ cos²(α+β)- cos²(α+β)- cos(α-β) cos(α+β) = 0 .
Так как данные углы– острые, то из доказанного утверждения следует, что cos²α+ cos²β+ cos²γ=1-2 cosα cosβ cosγ < 1 , поэтому sin²α+ sin²β+ sin²γ=3-( cos²α+ cos²β+ cos²γ) > 2 .
Так как для любого угла x треугольника sin x> sin² x , то sinα+ sinβ+ sinγ> sin²α+ sin²β+ sin²γ > 2 , что и требовалось доказать.
Второй способ ("геометрический").

Пусть а , b и c – длины сторон остроугольного треугольника АВС , R – радиус его описанной окружности. Умножив обе части доказываемого неравенства на 2R и используя следствие из теоремы синусов, получим равносильное неравенство: а + b + c > 4R .
Пусть m_a , m_b и m_c – длины медиан АА' , BB' и CC' треугольника АВС , тогда а + b + c > m_a + m_b + m_c . Действительно, продолжив, например, медиану AA' на ее длину, из треугольника АВD получим, что b + c > 2m_a (см. рис. 11.6). Аналогично, а + c > 2m_b и а + b > 2m_c . Сложив почленно три полученных неравенства и разделив на 2, получим требуемое. Отметим, что доказанное неравенство справедливо для любого треугольника. Докажем теперь, что в остроугольном треугольнике m_a + m_b + m_c 4R . Пусть М – точка пересечения медиан, а О – центр описанной окружности остроугольного треугольника АВС (см. рис. 11.6). Так как О расположена внутри треугольника АВС , то она принадлежит одному из трех треугольников АМВ , ВМС или СМА . Без ограничения общности можно считать, что это треугольник АМВ , тогда АM + ВM АО + ВО , то есть m_a + m_b 2R m_a + m_b 3R . Продолжим отрезок СО до пересечения с АВ в точке Р . Так как угол ОС'P – прямой, то угол С'ОP – острый, поэтому угол СOC' – тупой. Следовательно, СC₁ СO , то есть m_c R .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2008
класс
Класс	11
задача
Номер	2293576