Условие
Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .
Решение
Первый способ ("тригонометрический"). Докажем сначала вспомогательное утверждение:
Если α , β и γ – углы произвольного треугольника, то cos2α+ cos2β+ cos2γ+2 cosα cosβ cosγ=1 .
Действительно, так как γ=180o-(α+β) , то
cos2α+ cos2β+ cos2γ+2 cosα cosβ cosγ-1 =
cos2α+ cos2β+ cos2(α+β)-2 cosα cosβ cos(α+β)-1 =
+
-1 + cos2(α+β)-2 cosα cosβ cos(α+β) =
+ cos2(α+β)-( cos(α+β)+ cos(α-β)) cos(α+β) =
cos(α+β) cos(α-β)+ cos2(α+β)- cos2(α+β)- cos(α-β) cos(α+β) = 0 .
Так как данные углы– острые, то из доказанного утверждения следует, что
cos2α+ cos2β+ cos2γ=1-2 cosα cosβ cosγ < 1 , поэтому
sin2α+ sin2β+ sin2γ=3-( cos2α+ cos2β+ cos2γ) > 2 .
Так как для любого угла x треугольника sin x> sin2 x , то sinα+ sinβ+ sinγ> sin2α+ sin2β+ sin2γ > 2 ,
что и требовалось доказать.
Второй способ ("геометрический").
Пусть а , b и c – длины сторон остроугольного треугольника АВС , R – радиус его описанной окружности. Умножив обе части доказываемого неравенства на 2R и используя следствие из теоремы синусов, получим равносильное неравенство: а + b + c > 4R .
Пусть ma , mb и mc – длины медиан АА' , BB' и CC' треугольника АВС , тогда а + b + c > ma + mb + mc . Действительно, продолжив, например, медиану AA' на ее длину, из треугольника АВD получим, что b + c > 2ma (см. рис. 11.6). Аналогично, а + c > 2mb и а + b > 2mc . Сложив почленно три полученных неравенства и разделив на 2, получим требуемое. Отметим, что доказанное неравенство справедливо для любого треугольника. Докажем теперь, что в остроугольном треугольнике ma + mb + mc
