ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a, точка K ─ середина ребра AB, точка E лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 2, точка F ─ центр грани ABC. Найдите угол между прямыми BC и KE, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки A, B, E и F. |
Задача 111290
Условие
Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a, точка K ─ середина ребра AB, точка E лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 2, точка F ─ центр грани ABC. Найдите угол между прямыми BC и KE, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки A, B, E и F.
Решение
По определению угла между скрещивающимися прямыми, угол между прямыми BC и KE равен углу между пересекающимися прямыми KM и KE. Обозначим ∠EKM = φ, ∠DCF = α. Из прямоугольного треугольника CFD находим, что
По теореме косинусов EM² = CE² + CM² − 2CE · CM cos 60° =
KE² = CE² + CK² − 2CE · CK cos α =
Следовательно,
Тогда
Пусть V ─ объём тетраэдра ABCD. Тогда
Если E₁ ─ ортогональная проекция точки E на плоскость ABC, то
С другой стороны, если d ─ расстояние между прямыми BC и KE, то
Центр O сферы радиуса R, проходящей через точки A, B, E и F, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости ABF и проходящей через центр Q окружности, описанной около треугольника ABF. Заметим, что Q ─ точка, симметричная точке F (рис. 2) относительно
Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через параллельные прямые EE₁ и OQ. Если P ─ ортогональная проекция точки E на прямую OQ, то R² = OE² = OP² + PE² = |OQ − OP|² + QE² = |OQ − EE₁|² + (QF + FE)² = (OQ − ⅓DF)² + (FC + ⅔FC)² =
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке