Задача 111310

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В пирамиде ABCD грани ABC и ADC являются равнобедренными треугольниками с общим основанием AC . Сфера радиуса R с центром в точке O , лежащей на грани ABC , касается всех рёбер пирамиды ABCD . Найдите длины отрезков, на которые точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды ABCD , если угол ABC равен 2α . Найдите значение угла ABC , при котором объём пирамиды будет наименьшим. Найдите это наименьшее значение объёма пирамиды ABCD .

Решение

Пусть сфера касается рёбер AB , BC , AC , AD , DC , DB в точках M , N , E , K , L , F соответственно. Отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки равны. Обозначим

BM=BN=BF=a, CE=CN=CL = b, DK=DL=DF=c,
а т.к. AB=BC , то AM=AE=AK=b . Сечение сферы плоскостью ABC – окружность с центром O , вписанная в равнобедренный треугольник ABC , поэтому BO , AO и CO – биссектрисы углов этого треугольника. Значит,
OBA = CBO = α, BCO = BCA = (90^o- CBO) = 45^o-.
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы с прямой, перпендикулярен этой прямой, поэтому OF BD и ON BC . Прямоугольные треугольники OFB и ONB равны по катету ( OF=ON=R ) и общей гипотенузе OB , поэтому DBO= CBO = α . Из прямоугольных треугольников ONB и ONC находим, что
a = BN = ON ctg OBN = R ctg α, b = CN = ON ctg OCN =

=R ctg (45^o-) =R· = .
Пусть DT = h – высота пирамиды. Из равенства боковых рёбер DA и DC следует, что точка T равноудалена от точек A и C , а т.к. AB=BC , то точка T лежит на прямой BE , содержащей высоту равнобедренного треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников CTD и BTD получаем, что
BT = BD cos DBO = (a+c) cos α,

h2 = DT2 = BD2-BT2 = (a+c)2-BT2=(a+c)2-(a+c)2 cos2 α,

CT2 = CD2-DT2 = (b+c)2-h2 = (b+c)2- (a+c)2+(a+c)2 cos2 α,
По теореме косинусов
CT2 = BT2+BC2-2BT· BC cos α = BT2+(a+b)2 -2(a+b)BT cos α,
или
(b+c)2- (a+c)2+(a+c)2 cos2 α= (a+c)2 cos2 α +(a+b)2-2(a+c) cos α· (a+b) cos α,

(b+c)2- (a+c)2= (a+b)2-2(a+c)(a+b) cos2α,
откуда находим, что
c= =.
Тогда
h= DT = BD sin α = (a+c) sin α = (R ctg α+) sin α = ,

V_ABCD = S_{Δ ABC}· DT = · AB· BC sin 2α· h= · (a+b)2 sin 2α· h=

=(R ctg α+)2 sin 2α · = .
Обозначим sin α=t и найдём минимальное значение функции f(t)= на интервале (0;1) . Уравнение f'(t)== 0 имеет на этом интервале единственное решение t0= . На интервале (0;) функция f(t) убывает (f'(t)<0) , а на интервале (;1) – возрастает (f'(t)>0) . Следовательно, в точке t0= функция f(t) достигает своего наименьшего значения на интервале (0;1) . Тогда α = 30^o и ABC = 2α = 60^o . При этом
V_min = R3· f() = R3· =2R3.

Ответ

a=R ctg α , b= , c= , V= , min ABC = , V_min = 2R3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8955