Задача 111313

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В пирамиде ABCD грани ABC и ADC являются равнобедренными треугольниками с общим основанием AC . Сфера радиуса R с центром в точке O , лежащей на грани ABC , касается всех рёбер пирамиды ABCD . Найдите длины отрезков, на которые точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды ABCD , если угол OCD равен β . Найдите значение угла OCD , при котором объём пирамиды будет наименьшим. Найдите это наименьшее значение объёма пирамиды ABCD .

Ответ

a=R tg 2β , b=R ctg β , c= , V= , min OCD = , V_min = 2R3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8958