Если зарплату сначала увеличить на 20%, а потом уменьшить на 20%, увеличится она в результате или уменьшится?

   Решение

В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров.
Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?

   Решение

В каждой клетке прямоугольной таблицы размером M×K написано число. Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 1.
Докажите, что  M = K.

   Решение

В течение года цены на штрюдели два раза поднимали на 50%, а перед Новым Годом их стали продавать за полцены.
Сколько стоит сейчас один штрюдель, если в начале года он стоил 80 рублей?

   Решение

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

   Решение

Андрей и Борис играют в следующую игру. Изначально на числовой прямой в точке p стоит робот. Сначала Андрей говорит расстояние, на которое должен сместиться робот. Потом Борис выбирает направление, в котором робот смещается на это расстояние, и т.д. При каких p Андрей может добиться того, что за конечное число ходов робот попадет в одну из точек 0 или 1 вне зависимости от действий Бориса?

   Решение

Темы:    [ Двоичная система счисления ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Андрей и Борис играют в следующую игру. Изначально на числовой прямой в точке p стоит робот. Сначала Андрей говорит расстояние, на которое должен сместиться робот. Потом Борис выбирает направление, в котором робот смещается на это расстояние, и т.д. При каких p Андрей может добиться того, что за конечное число ходов робот попадет в одну из точек 0 или 1 вне зависимости от действий Бориса?

Решение

Заметим, что если p<0 или p>1 , то Борис выиграет (ему достаточно все время выбирать направление от 1 , тем самым увеличивая расстояние от робота до отрезка).
Докажем, что при p[0,1] Андрей выигрывает тогда и только тогда, когда p= , где m и n целые неотрицательные, а дробь несократима.
Докажем часть "тогда". Пусть на некотором шаге координата робота имеет такой вид и лежит между 0 и 1 . Тогда Андрей назовет число .Борис вынужден будет сместить робота в одну из точек или . Эти точки того же вида , но l<n (т.к. m нечетно). Если n>0 , то эти точки лежат между 0 и 1 . Так как знаменатель рано или поздно станет равным 1, т.е. робот попадет в 0 или 1, то выиграет Андрей.
Докажем часть "только тогда". Пусть на некотором шаге координата x робота не представима в таком виде. Тогда для любого d хотя бы одно из чисел x-d , x+d не имеет такого вида, т.к. иначе их полусумма x тоже имела бы такой вид. Значит, Борис может добиться того, чтобы новая координата робота не представлялась в таком виде. Так как 0 и 1 имеют такой вид, то Борис выиграет.

Ответ

p= , где m и n целые неотрицательные, а дробь несократима, m 2ⁿ .

Источники и прецеденты использования