ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111342
Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

 k ≥ 6  – натуральное число. Докажите, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в k целых точках значения среди чисел от 1 до  k – 1,  то эти значения равны.


Решение

  Обозначим через P данный многочлен и через  x1 < ... < xk  – данные k целых точек. Так как  P(xk) – P(x1)  делится на  xk – x1k – 1  (см. решение задачи 35562) и не превосходит по модулю  k – 2,  то  P(xk) – P(x1) = 0.  Поэтому  P(x) = P(x1) + (x – x1)(x – xk)Q(x)  для некоторого многочлена Q с целыми коэффициентами.
   Если  P(xi) ≠ P(x1)  для некоторого  i = 3, 4, ..., k – 2,  то  Q(xi) ≠ 0.  Тогда  |P(xi) – P(x1)| ≥ |(xi – x1)(xi – xk)| ≥ 2(k – 3) > k – 2.  Это противоречие показывает, что  P(xi) = P(x1).
   Итак,  P(x3) = ... = P(xk–2) = P(x1).  Поэтому   P(x) = P(x1) + (x – x1)(x – x3)(x – x4)...(x – xk–3)(x – xk–2)(x – xk)R(x).
  Если  P(x2) ≠ P(x1),  то  R(x2) ≠ 0.  Тогда  |P(x2) – P(x1)| ≥ |(k – 4)!·(k – 2)| > k – 2.  Это противоречие показывает, что  P(x2) = P(x1).  Аналогично
P(xk–1) = P(x1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 71
Год 2008
вариант
Класс 9
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .