Задача 111350

Темы:    [ Теория игр (прочее) ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Метод координат на плоскости ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Канунников А.Л.

Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A ). Вначале лиса сидит в точке C , а зайцы – в точках B и D . Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v , а зайцы – по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?

Решение

Введем прямоугольную систему координат, начало которой совпадает с точкой A , а точки B , C и D имеют в ней координаты (0,1) , (1,1) и (1,0) соответственно.
Укажем такое поведение зайцев, которое при некоторых значениях v заведомо позволяет спастись одному из них, а затем определим эти значения v . Расстояние между двумя прямыми, задаваемыми в нашей системе координат уравнениями y=x+a и y=x+b соответственно, равно . Следовательно, за то время, пока лиса сможет переместиться с одной из этих прямых на другую, каждый из зайцев сможет пробежать расстояние . По условию и в силу выбора системы координат в начальный момент времени лиса находится на прямой y=x . Поэтому в момент, когда лиса находится на прямой y=x+a , зайцы, стартовавшие из точек B и D , всегда смогут находиться в точках с координатами (0,1+) и (1-,0) соответственно (пока эти координаты неотрицательны). Пусть зайцы следуют этой стратегии. Будем называть этих зайцев первым и вторым.
Без ограничения общности можно считать, что сначала лиса поймает первого зайца. Это произойдет в точке (0,1+) , принадлежащей прямой y=x+a , т.е. при 1+=a . Находя a , получим, что эта точка имеет ординату a= . Действуя согласно указанной стратегии, второй заяц в этот момент будет находиться в точке с абсциссой 1-= (если эта абсцисса окажется отрицательной, второй заяц спасется раньше, чем лиса поймает первого зайца). Если в момент поимки первого зайца отношение ординаты лисы к абсциссе второго зайца окажется больше значения v , то второй заяц спасется бегством к точке A . Значит, при >v· , т.е. при v<1+ , предложенное поведение зайцев заведомо позволяет спастись одному из них.

Пусть теперь v 1+ . Укажем поведение лисы, при котором она сможет поймать обоих зайцев. Пусть сначала она бежит по прямой y=x к точке A с максимальной скоростью. Поскольку в точку A лиса сможет прибежать раньше каждого из зайцев, то обязательно настанет такой момент, что расстояние от лисы до этой точки станет равным наименьшему из расстояний от каждого из зайцев до точки A . Без ограничения общности будем считать, что наименьшим будет расстояние от первого из зайцев до A , а координаты лисы и первого зайца в этом момент равны (a,a) и (0,a) соответственно. Тогда, двигаясь прямолинейно с максимальной скоростью сначала в точку с координатой (0,2a) , а затем в точку A , лиса поймает первого зайца и окажется в точке A не позже второго (см. рис.). Действительно, за время, пока лиса пробежит от точки (a,a) до точки (0,2a) , первый заяц пробежит не более . Так как a+ 2a при v 1+ , то он не убежит за точку (0,2a) , а так как a- , то двигаясь от точки (0,2a) в точку A , лиса успеет поймать его. Так как в тот момент, когда лиса свернула с прямой y=x , второй заяц находился не ближе к точке A , чем первый заяц, то до точки A лиса добежит не позже, чем второй заяц. Побежав затем по лучу AD , лиса поймает и его.
Введем ортогональную систему координат, начало которой совпадает с точкой A , а точки B , C и D имеют в ней координаты (0,1) , (1,1) и (1,0) соответственно.
Укажем такое поведение зайцев, которое при некоторых значениях v заведомо позволяет спастись одному из них, а затем определим эти значения v . Расстояние между двумя прямыми, задаваемыми в нашей системе координат уравнениями y=x+a и y=x+b соответственно, равно . Следовательно, за то время, пока лиса сможет переместится с одной из этих прямых на другую, каждый из зайцев сможет пробежать расстояние . По условию и в силу выбора системы координат в начальный момент времени лиса находится на прямой y=x . Поэтому в момент, когда лиса находится на прямой y=x+a зайцы, стартовавшие из точек B и D , всегда смогут находиться в точках с координатами (0,1+ ) и (1- ,0) соответственно (пока эти координаты неотрицательны). Пусть зайцы ведут себя указанным образом. Будем называть их первым и вторым соответственно.
Без ограничения общности можно считать, что сначала лиса поймает первого зайца. Очевидно, лиса сможет поймать первого зайца лишь в точке (0,1+) , принадлежащей прямой y=x+a , то есть при 1+=a . Эта точка имеет ординату a= . Согласно указанному поведению, второй заяц в этот момент будет находиться в точке с абсциссой 1-= (если эта абсцисса окажется отрицательной, второй заяц спасется раньше, чем лиса поймает первого зайца). Поэтому, если в указанный момент времени отношение ординаты первого зайца к абсциссе второго окажется больше значения v , то второй заяц спасется бегством к точке A после поимки первого. Значит, при > v· v<1+ предложенное поведение зайцев заведомо позволяет спастись одному из них.
Пусть теперь v 1+ . Укажем поведение лисы, при котором она сможет поймать обоих зайцев. Пусть сначала она бежит по прямой y=x к точке A с максимальной скоростью. Поскольку в точку A лиса сможет прибежать раньше каждого из зайцев, то обязательно настанет такой момент, что расстояние лисы от этой точки станет равным наименьшему из расстояний каждого из зайцев до точки A . Без ограничения общности будем считать, что наименьшим будет расстояние первого из зайцев от A , а координаты лисы и первого зайца в этом момент равны (a,a) и (0,a) соответственно. Тогда, двигаясь прямолинейно с максимальной скоростью сначала в точку с координатой (0,2a) , а затем в точку A , лиса поймает первого зайца и окажется в точке A не позже второго (см. рис.). Действительно, расстояние от точки с координатой (0,a) до точки с координатой (0,2a) равное a(2-) не менее – деленному на v расстоянию от точки с координатой (a,a) до точки с координатой (0,2a) . Значит первый из зайцев заведомо попадется. Не спасется также и второй из зайцев, так как его расстояние до A не менее – деленному на v указанному пути лисы.

Ответ

v 1+ .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	71
Год	2008
вариант
Класс	11
задача
Номер	6