ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111368
Темы:    [ Отношение объемов ]
[ Объем круглых тел ]
[ Цилиндр ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите объём общей части двух прямых круговых цилиндров радиуса a , пересекающихся под прямым углом (т.е. их оси пересекаются под прямым углом).

Решение

Проекция пересечения P цилиндров на плоскость, перпендикулярную оси одного из цилиндров, есть круг радиуса a . Половина тела P изображена на рис.1. При этом ABCD – квадрат со стороной 2a . Если "вкатить" шар S радиуса a в каждый из цилиндров, то он будет вписан в тело P . Сечение этого тела плоскостью, параллельной ABCD , есть квадрат, а сечение этой же плоскостью шара S – круг, вписанный в этот квадрат. Если сторона квадрата равна b , то радиус вписанного в него круга равен (рис.2), поэтому отношение площадей квадрата и круга равно = . Из принципа Кавальери следует, что объём V тела P в раз больше объёма шара S , т.е.

V = · π a3 = a3.


Ответ

a3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8965

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .