Задача 111370

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Какому соотношению должны удовлетворять радиусы трёх шаров, попарно касающихся друг друга, для того, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость.

Решение

Пусть r1 r2 – радиусы шаров с центрами O1 и O2 соответственно. Рассмотрим произвольную плоскость, касающуюся обоих шаров в точках соответственно A и B . Через параллельные прямые O1A и O2B проведём плоскость. В сечении этой плоскостью получим касающиеся круги S1 и S2 с центрами O1 и O2 радиусов O1A=r1 и O2B=r2 , касающиеся прямой AB в точках A и B . Радиус r3 меньшего шара, касающегося первых двух, должен быть не меньше радиуса r круга, касающегося кругов S1 и S2 и отрезка AB в некоторой точке C . Тогда AC+BC = AB , или

2+2 = 2,
откуда r = . Ясно, что для любого шара радуса r3 r , касающегося первых двуг шаров, существует общая касательная плоскость всех трёх шаров.

Ответ

Если r3 r2 r1 , то r3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8967