Задача 111371

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Сфера, вписанная в трехгранный угол ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна стороне основания. Внутри пирамиды расположены два шара: шар радиуса r касается всех боковых граней; шар радиуса 2r касается основания и двух смежных боковых граней; оба шара касаются друг друга внешним образом. Найдите апофему этой пирамиды.

Решение

Пусть сторона основания ABCD и апофема правильной пирамиды SABCD равны a , SH – высота пирамиды, O – центр шара радиуса r , вписанного в четырёхгранный угол с вершиной S пирамиды, Q – центр шара радиуса 2r , вписанного в трёхгранный угол с вершиной A , β – угол боковой грани пирамиды с плоскостью основания, M – середина BC . Из прямоугольного треугольника SMH находим, что

cos β = = = , β = 60^o, SH = .
Точка P касания второго шара с плоскостью ABCD лежит на диагонали AC квадрата ABCD . Пусть N – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на AB . По теореме о трёх перпендикулярах QN AB , поэтому PNQ – линейный угол двугранного угла между плоскостью основания пирамиды и биссекторной плоскостью двугранного угла пирамиды при ребре AB . Значит, PNQ = 30^o Тогда
PN = QP ctg PNQ = 2r ctg 30^o = 2r, AP = = = 2r,

PH = |AH-AP| = |- 2r|.
Пусть F – точка касания первого шара с плоскостью боковой грани BSC . Тогда F лежит на апофеме SM пирамиды. Из прямоугольного треугольника OFS находим, что SO = 2OF = 2r . Прямые QP и SH параллельны, поскольку они перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Рассмотрим прямоугольную трапецию OHPQ . Опустим перпендикуляр QL из точки Q на QH . Тогда
LH = QP = 2r, OL = SH-SO-LH = -2r-2r = -4r,

OQ = r+2r=3r, PH = |- 2r|.
По теореме Пифагора
OQ2 = QL2+OL2, 9r2 = (- 2r)2+ (-4r)2.
Из полученного уравнения находим, что a = (8 )r . Заметим, что если a = (8 - )r , то
AC = a = (8 - )r < 2r=AP,
значит, корень a = (8-)r не удовлетворяет условию задачи, т.к. по условию оба шара лежат внутри пирамиды. Следовательно, a = (8 + )r .

Ответ

(8+)r .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8968