Задача 111375

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Правильная пирамида ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб так, что одно ребро куба лежит на средней линии основания пирамиды; вершины куба, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности пирамиды; центр куба лежит на высоте пирамиды. Найдите отношение объёма пирамиды к объёму куба.

Решение

Пусть SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, M и N – середины сторон соответственно AB и CD основания ABCD (рис.1), E и F – вершины куба EFGHE1F1G1H1 , лежащие на отрезке MN , G и H – вершины, лежащие в грани BSC , E1 и F1 – в грани ASD , вершина H1 – в грани ASB , вершина G1 – в грани CSD , O – центр куба, ST – высота пирамиды. Обозначим через a сторону основания ABCD пирамиды, через x – ребро куба. Поскольку центр O куба лежит на высоте ST пирамиды, точка T1 , симметричная T относительно O , лежит на ребре G1H1 куба и делит его пополам. Рассмотрим сечение пирамиды и куба плоскостью MSN (рис.2). Получим равнобедренный треугольник MSN и вписанный в него прямоугольник EFG1H1 , причём точки G1 и H1 лежат на боковых сторонах SN и SM соответственно и H1G1 = x , EH1= FG1 = x , MN=a . Из подобия треугольников G1SH1 и NSM следует, что = = . Рассмотрим сечение пирамиды и куба плоскостью, проходящей через вершину S и середины P и Q рёбер AD и BC соответственно (рис.3). Получим равнобедренный треугольник PSQ и вписанный в него квадрат TP1T1Q , вершины P1 и Q1 которого лежат на боковых сторонах SP и SQ соответственно. Тогда

= = = 1- = 1- = ,
откуда ST = . Заметим, что
QTQ1 = 90^o - STQ1 = 90^o-45^o=45^o.
Запишем двумя способами площадь прямоугольного треугольника STQ :
S_{Δ STQ} = TQ· ST, S_{Δ STQ}=S_{Δ STQ}1+S_{Δ QTQ}1=

=ST· TQ1 sin 45^o+TQ· TQ1 sin 45^o= TQ1(ST+TQ).
Из равенства TQ· ST=TQ1(ST+TQ) находим, что TQ1 = , или
x= 1= a=x(2-1).
Тогда
ST = = = ,

V_{пирамиды} = a2· ST = · x2(2-1)2· = .
Следовательно,
= =.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8972