Задача 111377

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Конус ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Внутри прямого кругового конуса расположен куб так, что одно ребро куба лежит на диаметре основания конуса, вершины куба, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса, центр куба лежит на высоте конуса. Найдите отношение объёма конуса к объёму куба.

Решение

Пусть центр O куба ABCDA1B1C1D1 с ребром x лежит на высоте SH конуса с вершиной S и радиусом основания R , ребро AB куба лежит на диаметре основания конуса, а вершины C , D , A1 , B1 , C1 , D1 – на боковой поверхности. Плоскость основания конуса и плоскость диагонального сечения A1B1CD перпендикулярны прямой SH , поэтому они параллельны. Рассмотрим сечение конуса и куба плоскостью SAB . Получим равнобедренный треугольник SPQ и вписанный в него прямоугольник AD1C1B со сторонами D1C1= AB = x и AD1=BC1 = x , причём сторона AB лежит на диаметре PQ основания конуса. Пусть H1 – точка пересечения высоты SH конуса с ребром C1D1 куба. Трегольник SD1C1 подобен треугольнику SPQ , а треугольник C1BQ – треугольнику SHQ , поэтому

= = , = = ,
откуда
SH = C1B· = x· = ,

SH1=SH· = · = .
Значит,
SO = SH1+H1O = + = , = = .
Рассмотрим сечение конуса и куба плоскостью A1B1CD . Получим окружность с диаметром A1C=x и вписанный в неё прямоугольник A1B1CD , причём
A1C = 2R· = 2R· = .
Из равенства = x находим, что R= . Тогда
SH = = = ,

V_конуса = π R2· SH = π ()2· = .
Следовательно,
= = (53-7.

Ответ

(53-7 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8974