Задача 111378

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Правильный тетраэдр ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Ребро правильного тетраэдра SABC равно a . Через вершину A параллельно ребру BC проведена плоскость так, что угол между прямой AB и этой плоскостью равен 30^o . Найдите площадь сечения.

Решение

Синус угла наклонной AB к плоскости сечения (рис.1) равен отношению расстояния от точки B до этой плоскости к длине наклонной AB . Прямая BC параллельна секущей плоскости, значит, все точки этой прямой удалены от секущей плоскости на одно и то же расстояние. Найдём расстояние от середины P отрезка BC до секущей плоскости. Пусть секущая плоскость пересекает плоскость грани SBC тетраэдра по прямой MN ( M на SB , N на SC ). Плоскость SBC проходит через прямую BC , параллельную секущей плоскости, и пересекает эту плоскость по прямой MN . Следовательно, MN || BC . Пусть H – центр треугольника ABC , а прямые SP и MN пересекаются в точке T . Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью ASP . Опустим перпендикуляр PQ из точки P на прямую AT . Тогда длина отрезка PQ есть расстояние от точки P до плоскости AMN . Из условия задачи следует, что = sin 30^o = , поэтому PQ = AB = . Обозначим SPA = β , PAT = ϕ . Из прямоугольных треугольников SHP и APQ (рис.2) находим, что

cos β = = = , sin ϕ = = =.
тогда
sin β = , cos ϕ = , sin (β+ϕ) = sin β cos ϕ+ cos β sin ϕ = · +· = .
По теореме синусов
= = PT = = = ,

= = AT = = = .
Тогда
ST = SP-PT = -=.
По теореме о трёх перпендикулярах AT MN , значит, AT – высота треугольника AMN . Из подобия треугольников SMN и SBC находим, что
MN = BC· = a· = a.
Следовательно,
S_{Δ AMN} = MN· AT = · a · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8975