|
|
 |
Условие
Основанием прямой призмы
ABCDA1B1C1D1 служит равнобедренная трапеция ABCD , в
которой AD || BC , AD:BC=n>1 . Параллельно диагонали B1D
проведены плоскость через ребро AA1 и плоскость через ребро BC ;
параллельно диагонали A1C проведены плоскость через ребро DD1 и
плоскость через ребро B1C1 . Найдите отношение объёма треугольной
пирамиды, ограниченной этими четырьмя плоскостями, к объёму призмы.
Решение
Прямая AA1 параллельна плоскости BB1D1D , т.к. она параллельна
прямой DD1 , лежащей в этой плоскости (рис.1). Поэтому плоскость α ,
проходящая через прямую AA1 параллельно B1D , параллельна плоскости BB1D1D .
Поэтому плоскость α пересекается с плоскостью
основания ABCD призмы по прямой l , параллельной BD . Аналогично, плоскость β
проходящая через прямую DD1 параллельно A1C , пересекается с плоскостью
основания ABCD призмы по прямой m , параллельной AC . Пусть прямые l и m
пересекаются в точке P . Тогда плоскости α и β содержащие грани
треугольной пирамиды, о которой говорится в условии задачи, пересекаются по прямой p ,
проходящей через точку P параллельно прямым AA1 и DD1 .
Прямая BC параллельна плоскости AB1C1D , т.к. она параллельна
прямой AD этой плоскости.
Тогда плоскость γ , проходящая через ребро BC параллельно диагонали B1D ,
параллельна плоскости AB1C1D . Аналогично, плоскость δ , проходящая через
ребро B1C1 параллельно диагонали A1C , параллельна плоскости BA1D1C .
Пересекающиеся плоскости γ и δ проходят через параллельные прямые BC и
B1C1 , значит, эти плоскости пересекаются по прямой q , параллельной прямым
BC и B1C1 . Пусть вершины K и L треугольной пирамиды KLMN , грани которой лежат
в плоскостях α , β , γ и δ , принадлежат прямой p , а вершины
M и N – на прямой q . Прямая q параллельна прямой BC , прямая p параллельна
прямой AA1 , причём AA1 BC , поэтому KL
MN .
Рассмотрим сечение призмы и пирамиды плоскостью, проходящей через прямую KL перпендикулярно
прямой MN (рис.2). Пусть эта плоскость пересекает ребро MN в точке G . Получим
равнобедренный треугольник KLG и прямоугольник EE1F1F , причём точки E и E1 ,
лежащие на сторонах KG и LG , – середины рёбер соответственно BC и B1C1 призмы,
F и F1 – середины рёбер соответственно AD и A1D1 , а EE1=FF1=AA1 .
Плоскость KMN (т.е. плоскость γ ) параллельна плоскости AB1C1D , а секущая плоскость
пересекается с плоскостью KLG по прямой E1F , то KG || E1F . Аналогично,
LG || EF1 .
Обозначим AA1=h , BC = a . Тогда AD = na . Рассмотрим сечение призмы и пирамиды плоскостью,
проходящей через высоту GH равнобедренного треугольника KLG и ребро MN пирамиды KLMN (рис.3).
Получим равнобедренный треугольник HMN и равнобедренную трапецию A2B2C2D2 ,
равную трапеции ABCD , причём точки A2 и D2 лежат на сторонах соответственно HN и
HM , A2D2 || MN , A2C2 || HM , B2D2 || HN .
Пусть отрезок GH пересекает основания B2C2 и A2D2 трапеции A1B2C2D2
в точках E2 и F2 соответственно. Тогда E2 и F2 – середины этих оснований,
а E2F2 – высота трапеции.
Пусть прямая B2C2 пересекает стороны HN и HM треугольника HMN в точках N1 и
M1 соответственно. Тогда A2C2M1D2 и A2N1B2D2 – параллелограммы,
поэтому
Из подобия треугольников HN1M1 и HA2D2 находим, что
Рассмотрим треугольник KLG . Положим HF2=nx , HE2=(2n+1)x . Тогда E2F2=HE2-HF2=(n+1)x . Если O – точка пересечения диагоналей EF1 и E1F , то O – середина E2F2 ,
Пусть продолжения диагоналей EF1 и E1F пересекают сторону KL в точках R и T соответственно. Тогда EE1TK и EE1LR – параллелограммы, поэтому TK=EE1=LR=h . Из подобия треугольников ORT и OF1F находим, что
значит,
Пусть S1 и S2 – площади треугольника HMN и трапеции A1B2C2D2 соответсвенно, а V1 и V2 – объёмы соответственно пирамиды KLMN и данной призмы. Тогда
Следовательно,
Ответ
(
)3 .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 9024 |
